问题在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．探究发现某数学兴趣小组在探究AE，EF的关

Question

【问题】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；
【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
【拓展应用】
当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0<n<1），请直接写出S_△ABC：S_△AEF的值．

Answer 1

【探究发现】：相等；
【数学思考】
证明：如图2，点E在线段BC上，
在AC上截取CG=CE，连接GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB．
∴∠FEB=∠EAC．
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠AGE=∠EBF=135°．
在△AGE和△EBF中，

∠AGE=∠EBF

AG=BE

∠EAG=∠FEB

，
∴△AGE≌△EBF．
∴AE=EF；
【拓展应用】
设BC=1，则BE=n，
AE²=AC²+CE²=1+（n+1）²=n²+2n+2，
∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC的面积=(1)/(2)BC²，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△AEF的面积(1)/(2)AE²，
∴S_△ABC：S_△AEF=((1)/(2)BC2)/((1)/(2)AE2)=(1)/(n2+2n+2)，
∴S_△ABC：S_△AEF=1：（n²+2n+2）．