在一个圆上任取三个点,构成钝角三角形的概率是多少?

Question

在一个圆上任取三个点,构成钝角三角形的概率是多少?

Answer 1

3/4;
1：在圆上任意取第一个点A；
2：再任意第二个点B,有AB重合、AB在同一条直径上两个特殊点,
但对于圆上的无数个点来说,B取到上面两个特殊点的概率为0；
所以可以使AB能够不重合且不在同一直径上的概率为1；以下叙述将不考虑上述两个特殊点；
由上所述,A、B两点的取法可以看做是任意取,概率为1；
3：再任意取第三点C,C有与A重合、与B重合两个特殊点,同上,可以忽略不计
设原点为O,则AO交圆于点D,BO交圆于点E,则C在弧DBAE时（D、B、A、E四点除外）,三角形ABC为钝角三角形；
由AB的长度从趋近于零,到趋近于直径,弧DBAE的长度由趋近于圆周长1,到趋近于半圆周1/2,
所以弧DBAE的平均长度为（1+1/2）/2 = 3/4;
所以三角形ABC为钝角三角形的概率为3/4