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已知圆C的方程x2+y2-2x+4y-m=0.(1)若点A(m,-2)在圆C的内部,求m的取值范围;(2)若当m=4时①设P(x,y)为圆C上的一个动点,求(x-4)2+(y-2)2的最值;②问是否存在斜率是1的直线l,使l
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已知圆C的方程x2+y2-2x+4y-m=0.
(1)若点A(m,-2)在圆C的内部,求m的取值范围;
(2)若当m=4时①设P(x,y)为圆C上的一个动点,求(x-4)2+(y-2)2的最值;②问是否存在斜率是1的直线l,使l被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)若点A(m,-2)在圆C的内部,求m的取值范围;
(2)若当m=4时①设P(x,y)为圆C上的一个动点,求(x-4)2+(y-2)2的最值;②问是否存在斜率是1的直线l,使l被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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答案和解析
(1)圆C的方程即(x-1)2+(y+2)2=5+m,∴m>-5.
再根据点A(m,-2)在圆C的内部,可得 (m-1)2+(-2+2)2<5+m,求得-1<m<4.
(2)①当m=4时,圆C的方程即(x-1)2+(y+2)2=5+4=9,而(x-4)2+(y-2)2表示圆C上的点P(x,y)到点H(4,2)的距离的平方,
由于|HC|=
=5,故(x-4)2+(y-2)2的最大值为 (5+3)2=64,(x-4)2+(y-2)2的最小值为 (5-3)2=4.
②假设存在直线l满足题设条件,设l的方程为y=x+m,圆C化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2),
则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点,即N(−
,
),以AB为直径的圆经过原点,
∴|AN|=|ON|,又CN⊥AB,|CN|=
,∴|AN|=
.
又|ON|=
,由|AN|=|ON|,解得m=-4或m=1.
∴存在直线l,其方程为y=x-4或y=x+1.
再根据点A(m,-2)在圆C的内部,可得 (m-1)2+(-2+2)2<5+m,求得-1<m<4.
(2)①当m=4时,圆C的方程即(x-1)2+(y+2)2=5+4=9,而(x-4)2+(y-2)2表示圆C上的点P(x,y)到点H(4,2)的距离的平方,
由于|HC|=
(4−1)2+(2+2)2 |
②假设存在直线l满足题设条件,设l的方程为y=x+m,圆C化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2),
则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点,即N(−
m+1 |
2 |
m−1 |
2 |
∴|AN|=|ON|,又CN⊥AB,|CN|=
|1+2+m| | ||
|
9−
|
又|ON|=
(−
|
∴存在直线l,其方程为y=x-4或y=x+1.
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