已知点A(1,a),圆x方+y方=4(1)若过点A的圆的切线只有一条,求a的值及切线方程（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2倍根号3,求a的值

Question

已知点A(1,a),圆x方+y方=4
(1)若过点A的圆的切线只有一条,求a的值及切线方程 （2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2倍根号3,求a的值

Answer 1

（1）
∵过点A的圆的切线只有一条
那么点A（1,a)在圆x²+y²=4上
∴1+a²=4,a²=3
∴a=±√3
此时OA的斜率KOA=a/1=±√3
∵切线垂直于过切点的半径
∴切线斜率k=±√3/3
∴切线方程为
a=√3时,y-√3=-1/√3(x-1)即x+√3y-4=0
a=-√3y时,y+√3=1/√3(x-1)即x-√3y-4=0
(2)
所求直线在两坐标轴上截距相等
∴直线的斜率为-1
直线过A(1,a),根据点斜式得：
y-a=-(x-1)
即x+y-a-1=0
直线被圆截得的弦长为2√3
根据勾股定理得直线到圆心的距离
d=√[2²-(√3)²]=1
根据π点到直线距离公式得
|-a-1|/√2=2
∴|a+1|=2√2
∴a=2√2-1或a=-1-2√2