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证明奇函数已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),x∈R,y∈R,且f(0)不等于1证明:f(x)是奇函数
题目详情
证明奇函数
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y) = 2 f(x) · f(y),x∈R,y∈R,且f(0)不等于1 证明:f(x)是奇函数
已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y) = 2 f(x) · f(y),x∈R,y∈R,且f(0)不等于1 证明:f(x)是奇函数
▼优质解答
答案和解析
先令x=y=0,则已知等式即:
f(0)+f(0)=2f(0)^2,即有:2f(0)[f(0)-1]=0
由于f(0)不等于1,所以f(0)=0
令x=0,则已知等式即为:
f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y)=0
即有:f(y)=-f(-y)
故f(x)是奇函数
f(0)+f(0)=2f(0)^2,即有:2f(0)[f(0)-1]=0
由于f(0)不等于1,所以f(0)=0
令x=0,则已知等式即为:
f(y)+f(-y)=2f(0) ·f(y)=0
即有:f(y)=-f(-y)
故f(x)是奇函数
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