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已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是(填序号).①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x•f(x);④y=f(x)+x.
题目详情
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是______(填序号).
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x•f(x);④y=f(x)+x.
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x•f(x);④y=f(x)+x.
▼优质解答
答案和解析
∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x•f(x);④y=f(x)+x.的定义域都是R
对于①、∵f(x)的定义域为R,∴f(|-x|)=f(|x|),
∴y=f(|x|)是偶函数;
对于②、令F(x)=f(-x),
则F(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数,∴②是奇函数;
对于③、令M(x)=x•f(x),
则M(-x)=-x•f(-x)=x•f(x)=M(x),
∴M(x)是偶函数;
对于④、令N(x)=f(x)+x,
则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x
=-[f(x)+x]=-N(x),
∴N(x)是奇函数,故②、④是奇函数.
故答案为:②④
对于①、∵f(x)的定义域为R,∴f(|-x|)=f(|x|),
∴y=f(|x|)是偶函数;
对于②、令F(x)=f(-x),
则F(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(x),
∴F(x)是奇函数,∴②是奇函数;
对于③、令M(x)=x•f(x),
则M(-x)=-x•f(-x)=x•f(x)=M(x),
∴M(x)是偶函数;
对于④、令N(x)=f(x)+x,
则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x
=-[f(x)+x]=-N(x),
∴N(x)是奇函数,故②、④是奇函数.
故答案为:②④
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