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如何证明f(x)表示成一个奇函数与一个偶函数的唯一性f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2证明这种表示是唯一的
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如何证明f(x)表示成一个奇函数与一个偶函数的唯一性
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
证明这种表示是唯一的
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
证明这种表示是唯一的
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答案和解析
对任意函数f(x),令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),所以g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),所以h(x)是奇函数
两式相加,g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),所以g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),所以h(x)是奇函数
两式相加,g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和
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