证明定义在（-l,l)上的任意函数f(x)必可表示为一个偶函数与一个奇函数的和.

Question

证明定义在（-l,l)上的任意函数f(x)必可表示为一个偶函数与一个奇函数的和.

Answer 1

证明：设f(x)为定义在（-I,I）上的任意一个函数
令 h(x) =[f(x)+f(-x)]/2
则,h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以,h(x)为偶函数.
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
则,g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数.
又因为,f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以,f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和