设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（）A．F（x）是偶函数⇔f（x）是奇函数B．F（x）是奇函数⇔f（x）是偶函数C．F（x）是周期函数

Question

设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M⇔N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（　　）

A．F（x）是偶函数⇔f（x）是奇函数
B．F（x）是奇函数⇔f（x）是偶函数
C．F（x）是周期函数⇔f（x）是周期函数
D．F（x）是单调函数⇔f（x）是单调函数

Answer 1

方法一：任一原函数可表示为F(x)=

∫

x 0

f(t)dt+C，且 F′（x）=f（x）
∵当F（x）为偶函数时，有F（-x）=F（x）
∴对上式等式两边同时求导，得到-F′（-x）=F′（x）
∴-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
反之，当f（x）为奇函数时，即f（-x）=-f（x）
∴对上式等式两边同时作变上限积分，得到

∫

x 0

f(-t)dt=

-∫

x 0

f(t)dt
令等式左边-t=u，dt=-du
将等式左边变形得到：

-∫

-x 0

f(u)du

=-∫

x 0

f(t)dt
∴

∫

-x 0

f(t)dt

=∫

x 0

f(t)dt
∴F（-x）=F（x），即F（x）为偶函数．
故选：A．
方法二：
先令f（x）=1，则取F（x）=x+1
∵f（x）=1是偶函数且为周期函数，但F（x）=x+1为非奇非偶函数且非周期函数
∴选项（B）、（C）不正确
∴排除（B）、（C）
再令f（x）=x，则取F(x)=(1)/(2)x2
∵f（x）=x在x∈R内是增函数函数，而F(x)=(1)/(2)x2在x∈R上是非单调函数
∴选项（D）不正确
∴排除（D）
故选：A．