已知函数m（x）=log2（4x+1），n（x）=kx（k∈R）．（1）当x＞0时，F（x）=m（x）．若F（x）为R上的奇函数，求x＜0时F（x）的表达式；（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函数，求k的值；（3）对（2

Question

已知函数m（x）=log₂（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x）．若F（x）为R上的奇函数，求x＜0时F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设函数g（x）=log₂（a·2^x-(4)/(3)a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）设x＜0，则-x＞0，
∵F（x）为R上的奇函数，
∴F（x）=-F（-x）=-log₂（4^-x+1），
∴x＜0时，F（x）=-log₂（4^-x+1）； 
（2）∵f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意x∈R恒成立，
即log₂（4^-x+1）-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
∴-2x-2kx=0恒成立，
∴k=-1．                  
（3）∵a＞0，∴g（x）=log₂（a·2^x-(4)/(3)a）定义域为（log₂(4)/(3)，+∞），
也就是满足2^x＞(4)/(3)．
∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log₂（a·2^x-(4)/(3)a）在（log₂(4)/(3)，+∞）上只有一解，
即方程(4x+1)/(2x)=a·2^x-(4)/(3)a在（log₂(4)/(3)，+∞）上只有一解．  
令2^x=t，则t＞(4)/(3)，因而等价于关于t的方程
（a-1）t²-(4)/(3)at-1=0     （*）在（(4)/(3)，+∞）上只有一解．
①当a=1时，解得t=-(3)/(4)∉（(4)/(3)，+∞），不合题意；
②当0＜a＜1时，记h（t）=（a-1）t²-(4)/(3)at-1，其图象的对称轴t=(2a)/(3(a−1))＜0．
∴函数h（t）=（a-1）t²-(4)/(3)at-1在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1，
∴方程（*）在（(4)/(3)，+∞）无解．
③当a＞1时，记h（t）=（a-1）t²-(4)/(3)at-1，其图象的对称轴t=(2a)/(3(a−1))＞0，
∴只需h（(4)/(3)）＜0，即(16)/(9)（a-1）-(16)/(9)a-1＜0，此式恒成立．
综上所述，所求a的取值范围为（1，+∞）．