已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2|x-1|-1，0＜x≤212f(x-2)，x＞2，则函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为（

Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时， f(x)=

2 |x-1|-1 ，0＜x≤2

(1)/(2) f(x-2)，x＞2

，则函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
又∵函数g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函数g（x）是偶函数，
∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）=2 ^|x-1|-1 ，
即 f(x)=

2 -x ，0＜x≤1

2 x-2 ，1＜x≤2

∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[ (1)/(2) ，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1
又∵当x＞2时，f（x）= (1)/(2) f(x-2)
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[ (1)/(4) ， (1)/(2) ]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[ (1)/(8) ， (1)/(4) ]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[ (1)/(16) ， (1)/(8) ]，当且仅当x=8时，f（x）= (1)/(8) ，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[ (1)/(32) ， (1)/(16) ]，当且仅当x=10时，f（x）= (1)/(16) ，
故f（x）＜ (1)/(X) 在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点
综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8
故选B