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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2|x-1|-1,0<x≤212f(x-2),x>2,则函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为(
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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=
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答案和解析
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x). 又∵函数g(x)=xf(x)-1, ∴g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)[-f(x)]-1=xf(x)-1=g(x), ∴函数g(x)是偶函数, ∴函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的. ∴函数g(x)在[-6,6]上所有的零点的和为0, ∴函数g(x)在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和. 由0<x≤2时,f(x)=2 |x-1|-1 , 即 f(x)=
∴函数f(x)在(0,2]上的值域为[
又∵当x>2时,f(x)=
∴函数f(x)在(2,4]上的值域为[
函数f(x)在(4,6]上的值域为[
函数f(x)在(6,8]上的值域为[
函数f(x)在(8,10]上的值域为[
故f(x)<
同理g(x)=xf(x)-1在(10,12]上无零点 依此类推,函数g(x)在(8,+∞)无零点 综上函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为8 故选B |
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