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在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．

题目详情
在数列{an}中，a1=1，an+1=
2an
2+an
，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．n1n+1
2an
2+an
，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．
2an
2+an
2an2ananann2+an2+ananann*
▼优质解答
答案和解析
在{ann}中，a11=1，a22=
2a1
2+a1
=
2
3
，a3=
2a2
2+a2
=
1
2
=
2
4
，a4=
2a3
2+a3
=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2a1
2+a1
2a12a12a112+a12+a12+a11=
2
3
，a3=
2a2
2+a2
=
1
2
=
2
4
，a4=
2a3
2+a3
=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2
3
222333，a33=
2a2
2+a2
=
1
2
=
2
4
，a4=
2a3
2+a3
=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2a2
2+a2
2a22a22a222+a22+a22+a22=
1
2
=
2
4
，a4=
2a3
2+a3
=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
2
111222=
2
4
，a4=
2a3
2+a3
=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2
4
222444，a44=
2a3
2+a3
=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2a3
2+a3
2a32a32a332+a32+a32+a33=
2
5
，…，
所以猜想{an}的通项公式an=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2
5
222555，…，
所以猜想{ann}的通项公式ann=
2
n+1
．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a1=1，an+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2
n+1
222n+1n+1n+1．
这个猜想是正确的．
证明如下：因为a11=1，an+1n+1═
2an
2+an
，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
2an
2+an
2an2an2ann2+an2+an2+ann，
所以
1
an+1
＝
2+an
2an
＝
1
an
+
1
2
，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
an+1
111an+1an+1an+1n+1＝
2+an
2an
2+an2+an2+ann2an2an2ann＝
1
an
111ananann+
1
2
111222，
即
1
an+1
−
1
an
＝
1
2
，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
an+1
111an+1an+1an+1n+1−
1
an
111ananann＝
1
2
111222，
所以数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
an
111ananann}是以
1
a1
=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
a1
111a1a1a11=1为首项，
1
2
为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
2
111222为公差的等差数列，
所以
1
an
=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
an
111ananann=1+
1
2
（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
2
111222（n-1）=
1
2
n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
2
111222n+
1
2
，所以通项公式an=
2
n+1
．
1
2
111222，所以通项公式ann=
2
n+1
．
2
n+1
222n+1n+1n+1．
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