观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照以上式子规律：（1）写出第4个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个

Question

观察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=2²×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=2³×1×3×5
…
照以上式子规律：
（1）写出第4个等式，并猜想第n个等式；（n∈N^*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

（1）（1+1）=2×1，
（2+1）（2+2）=2²×1×3，
（3+1）（3+2）（3+3）=2³×1×3×5，
第4个等式，（4+1）（4+2）（4+3）（4+4）=2⁴×1×3×5×7；
猜想第n个等式：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）（n∈N^*）
（2）①当n=1时，左边=（1+1）=2，右边=2×1=2等式成立； 
②假设当n=k时，原式成立，即：（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2^k×1×3×5×…×（2k-1）（k∈N^*）
那么，当n=k+1时，左边=：（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1）
=([(k+1)(k+2)(k+3)…(k+1+k−1)](k+1+k)(k+1+k+1))/(k+1)
=(2k×1×3×5×…×(2k−1)(2k+1)(2k+2))/(k+1)
=2^k+1×1×3×5×…×（2k+1）=右边，
故n=k+1时，等式也成立．
由①②知：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）（n∈N^*） 成立．