已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a3，a5，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=an+1n为奇数3×2an−1n为偶数，求数列{cn}的前2n项和T2n．

Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2且a₃，a₅，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．_n1358
n
n

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1n为奇数an+1an+1an+1n+1n为奇数3×2an−1n为偶数3×2an−12an−12an−1an−1an−1an−1n−1n为偶数_n2n

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_nn}是公差不为0的等差数列，
a₁1=2且a₃3，a₅5，a₈8成等比数列．
∴

a

2 5

＝a3a8，
∴（2+4d）²=（2+2d）（2+7d），
解得d=1（d=0舍去）．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

，
∴T2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分）

a

2 5

a

2

5

aa

2

5

2

2

5

5＝a3a8，
∴（2+4d）²=（2+2d）（2+7d），
解得d=1（d=0舍去）．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

，
∴T2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 3a8，
∴（2+4d）²=（2+2d）（2+7d），
解得d=1（d=0舍去）．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

，
∴T2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 8，
∴（2+4d）²2=（2+2d）（2+7d），
解得d=1（d=0舍去）．
∴a_nn=2+（n-1）×1=n+1．…（6分）
（Ⅱ）∵c_nn=

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

，
∴T2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分）

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1	n为奇数
3×2an−1	n为偶数

an+1n为奇数an+1an+1n+1n为奇数n为奇数3×2an−1n为偶数3×2an−13×2an−1an−1n−1n为偶数n为偶数，
∴T2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） T2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 2n＝(a2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 2+a4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 4+…+a2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 2n)+3(2a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） a1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 1+2a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） a3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 3+…+2a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） a2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²+2⁴+…+2²ⁿ）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） 2n−1)
=（3+5+…+2n+1）+3（2²2+2⁴4+…+2²ⁿ2n）
=((2n+4)n)/(2)+3×(4(1−4n))/(1−4)
=4ⁿ⁺¹+n²+2n-4．…（12分） ((2n+4)n)/(2)(2n+4)n(2n+4)n(2n+4)n222+3×(4(1−4n))/(1−4)4(1−4n)4(1−4n)4(1−4n)n)1−41−41−4
=4ⁿ⁺¹n+1+n²2+2n-4．…（12分）