研究函数的定义域,奇偶性,单调性研究函数y=x+a/x(a>0)的定义域,奇偶性,单调性

Question

研究函数的定义域,奇偶性,单调性
研究函数y=x+a/x(a>0)的定义域,奇偶性,单调性

Answer 1

定义域为x≠0
f(-x)=-x-a/(-x)=-(x+a/x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
x1,x2∈(0,√a] x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(1-a/(x1x2))
[x1>x2 x1-x2>0
因为x1x21 1-a/(x1x2)<0]
<0
x1,x2∈[√a,+∞) x1>x2
f(x1)-f(x2)
=(x1+a/x1)-(x2+a/x2)
=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)(1-a/(x1x2))
[x1>x2 x1-x2>0
因为x1x2>(√a)^2 所以a/(x1x2)<1 1-a/(x1x2)>0]
>0
又因为f(x)是奇函数
所以f(x)在x∈(0,√a]时单调递减
f(x)在x∈[√a,+∞)时单调递增
f(x)在x∈[-√a,0)上单调递减
f(x)在x∈(-∞,-√a]上单调递增