某流水线上每个产品不合格的概率为p（0＜p＜1），各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修．设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望E（X）和方差

Question

某流水线上每个产品不合格的概率为p（0＜p＜1），各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修．设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

令q=1-p，X的概率分布为：
P{X=k}=q^k-1p，（k=1，2，…）
X的数学期望为：
E（X）=

∞

k＝1

kP{X=k}=

∞

k＝1

kq^k-1p
=p

∞

k＝1

（q^k）'
=p（

∞

k＝1

q^k）'
=p（(q)/(1−q)）'（等比数列求和公式）
=p(1)/((1−q)2)
=(1)/(p)．
又因为：
E（X²）=

∞

k＝1

k²P{X=k}=

∞

k＝1

k²q^k-1p
=p

∞

k＝1

[（q^k）'k]
=p[q

∞

k＝1

（q^k）']'
=p[(q)/((1−q)2)]'
=(2−p)/(p2)
因此：
D（X）=E（X²）-[E（x）]²
=(2−p)/(p2)-(1)/(p2)
=(1−p)/(p2)．
综合以上分析，X的数学期望E（X）=(1)/(p)，方差D（X）=(1−p)/(p2)．