f(x)=Ae^(-|x|),x在负无穷和正无穷之间.求A的值和x的期望、方差.涉及到分部积分的地方详细一点,

Question

f(x)=Ae^(-|x|),x在负无穷和正无穷之间.求A的值和x的期望、方差.涉及到分部积分的地方详细一点,

Answer 1

分部积分公式：∫ u dv=uv - ∫ v du
先求A
∫[-∞→+∞] Ae^(-|x|) dx = 1
则：2A∫[0→+∞] e^(-x) dx = 1
得：-2Ae^(-x) |[0→+∞] = 1
2A=1,得：A=1/2
E(X)=(1/2)∫[-∞→+∞] xe^(-|x|) dx
由于被积函数是奇函数,因此积分结果为0,得：E(X)=0
E(X²)=(1/2)∫[-∞→+∞] x²e^(-|x|) dx
=∫[0→+∞] x²e^(-x) dx
=-∫[0→+∞] x² d[e^(-x)]
分部积分
=-x²e^(-x) + ∫[0→+∞] 2xe^(-x) dx |[0→+∞]
=∫[0→+∞] 2xe^(-x) dx
=-∫[0→+∞] 2x d[e^(-x)]
分部积分
=-2xe^(-x) + 2∫[0→+∞] e^(-x) dx |[0→+∞]
=2∫[0→+∞] e^(-x) dx
=-2e^(-x) |[0→+∞]
=2
D(X)=E(X²)-E²(X)=2
希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮.