正数a,456-a、466-a、476-a都为质数,求a

Question

正数a,456-a、466-a、476-a都为质数,求a

Answer 1

首先证明：若N是整数,则N、N＋10、N＋20中必有一个是3的倍数
证明：对于任意整数N,其初3除的余数只能是0或1或2
即任意整数N可以表示成：
3M或3M＋1或3M＋2的形式（M为整数）
若N＝3M
则N本身是3的倍数
若N＝3M＋1
则N＋20＝3M＋1＋20＝3M＋21＝3*(M＋7)
所以N＋20是3的倍数
若N＝3M＋2
则N＋10＝3M＋2＋10＝3M＋12＝3*(M＋4)
所以N＋10是3的倍数
综上所述,N、N＋10、N＋20中必有一个是3的倍数
因为456-a、466-a、476-a三数依次相差10,符合上述结论的形式
所以456-a、466-a、476-a三数中心有一个是3的倍数
又因为456-a、466-a、476-a都为质数
所以456-a、466-a、476-a中必有一个等于3
当456－a＝3时,
解得a＝453
此时466－a＝13,476－a＝23
3、13、23都是质数,符合条件
而当466－a＝3或476－a＝3时,
456-a、466-a、476-a中会出现负数
质数通常是指自然数,故这两种情形无解.
所以所求的正数a是453
（当然在质数的定义中一般没有强调其是自然数,如果质数可以是负数,那么上述三数中必有一个是－3的情况也应该考虑,思路是一样的,只是情况多一点而已.即a也可以等于463、473、459、469、479）