利用微积分求lg2.7的近似值

Question

利用微积分求lg2.7的近似值

Answer 1

求近似值是一般是用泰勒级数,下面是f(x)在x=x0处的展开,不是全部的.
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x0)*(x-x0)+(1/2)*(f''(x0)(f))(x0)*(x-x0)^2+(1/6)*(f(3)(x0)(f))(x0)*(x-x0)^3+(1/24)*
(f(4)(x0)*(x-x0)^4+(1/120)*(f(5)(x0)*(x-x0)^5+O((x-x0)^6)然后就行了.
本题目取函数ln(x+1),有x=1.7,ln(1+x)≈x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+(1/5)*x^5
带入求值,所求和的项越多越准确,粗略的只1~2项
ln(2.7)≈2.644355667,又ln(2.7)=0.9932517730,相差太远,故项数太少了.
由上面可以知道,取了五项还是不够准确,这是因为级数收敛太慢导致的.加了一项,又减了一项差不多的,我记得一万项都还是不够精确的.
可以取ln((1+x)/(1-x))≈2*x+(2/3)*x^3+(2/5)*x^5,其实是ln(1+x)中将x换成-x然后作差得到的函数.全是加项,收敛的很快.
x=17/37时,有ln(2.7)=0.9917713253仅仅三项就靠近了.
对不起,前面答的是ln(2.7),
同理近似求出x=9/11,ln(10)≈2.302585093,越是值越大,越是不够精确.
lg(2.7)=ln(2.7)/ln(10)≈0.4307208139