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证明设A为n阶方阵,若A与所有n阶方阵乘法可换,则A一定是数量矩阵
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证明设A为n阶方阵,若A与所有n阶方阵乘法可换,则A一定是数量矩阵
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答案和解析
A与所有n阶方阵乘法可交换,我们只需取第一种初等矩阵Pi(k)（k不等于零和1）进行验证即可.PA的第i行的元素是A的第i行元素的k倍,AP的第i列的元素是A的第i列的元素的k倍,其它元素和A的元素相同.由已知PA=AP可得,A的第i行第i列处的元素有可能不为零,其它元素（第i行第i列的）均为零；一次类推,可知矩阵A除了主对角线上的元素之外,其它元素均为零,即A为数量矩阵.另外,数量矩阵与任何方阵（它们是同阶的）的乘积可交换.
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