设u=lnx2+y2+z2，则u在点M0（1，-1，2）处的方向导数的最大值为6666．

Question

设u=ln√(x2+y2+z2)，则u在点M₀（1，-1，2）处的方向导数的最大值为

(√(6))/(6)

(√(6))/(6)

．

Answer 1

由已知，有
ux|M0＝(x)/(x2+y2+z2)|M0＝(1)/(6)，(√(6))/(6)，uy|M0＝(y)/(x2+y2+z2)|M0＝(−1)/(6)，uz|M0＝(z)/(x2+y2+z2)|M0＝(1)/(3)，
∴gradu(M0)＝(1)/(6)(1，−1，2)
由于方向导数(∂u)/(∂l)|M0＝(u′x|M0，u′y|M0，u′z|M0)•(cosα，cosβ，cosγ)，其中（cosα，cosβ，cosγ）是l的方向向量
因此，当l的方向与梯度的方向一致时，方向导数取得最大
∴u在点（1，-1，2）处方向导数的最大值为|gradu（M₀）|=(√(6))/(6)