F（x）的n阶导数不等于0,那麽F(x）=0最多有n个根看参考书时看到的,不知道怎么证明,不等于0的意思是恒不等于0。我是大一的，刚入学，麻烦说的不要太深

Question

F（x）的n阶导数不等于0,那麽F(x）=0最多有n个根
看参考书时看到的,不知道怎么证明,
不等于0的意思是恒不等于0。我是大一的，刚入学，麻烦说的不要太深

Answer 1

如果你学过Rolle定理,那么很好办,利用反证法,如果F(x)至少有n+1个不同的实根,那么对相邻的两个实根用一次Rolle定理就得到F'(x)有n个不同的实根,如此一直得到F^{n}(x)有一个根,矛盾.
如果没学过Rolle定理,那么就需要知道导数有介值性质(Darboux定理),即F^{n}(x)恒不为零则必须保持同号,那么F^{n-1}(x)单调,至多一个实根,然后F^{n-2}至多有两个单调区间,至多2个实根……F(x)至多有n个单调区间,每段上至多一个实根.