利用高斯公式求曲面积分利用高斯公式计算曲面积分∫∫4xydydz-y²dzdx+yzdxdy其中Z为平面x=0y=0z=0x=1y=1z=1所围立方体的整个表面外侧

Question

利用高斯公式求曲面积分
利用高斯公式计算曲面积分∫∫4xydydz-y²dzdx+yzdxdy 其中Z为平面x=0 y=0 z=0 x=1y=1 z=1 所围立方体的整个表面外侧

Answer 1

本题满足高斯公式,分别对x、y、z求偏导数后转化为一个三重积分后有,3∫∫∫ydxdydz 积分域为实心立方体.到此可以直接用直角坐标积分这个三重积分得出结果.但是本人这里使用一个对称技巧.3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫(y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2） dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2） dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1为这个单位立方体体积,注意∫∫∫(y-1/2) dxdydz 因为这个立方体关于平面y-1/2=0对称,且y-1/2=0为奇次方,所以积分值为0）