利用高斯公式计算曲面积分I=∬x3dydz+y3dzdx+z3dxdyx2+y2+z2，其中∑是球面x2+y2+z2=a2的内侧．

Question

利用高斯公式计算曲面积分I=

∬

(x3dydz+y3dzdx+z3dxdy)/(√(x2+y2+z2))，其中∑是球面x²+y²+z²=a²的内侧．

Answer 1

将球面方程x²+y²+z²=a²代入I，得：
I=(1)/(a)

∫∫

x3dydz+y3dzdx+z3dxdy
利用高斯公式，P=x³，Q=y³，R=z³，设球面Σ所围闭区域为Ω，则
I=-(1)/(a)

∫∫∫

Ω

(3x2+3y2+3z2)dxdydz
=-(3)/(a)

∫

2π 0

dθ

∫

π 0

dϕ

∫

a 0

r2r2sinϕdr
=-(6π)/(a)(a5)/(5)

∫

π 0

sinϕdϕ=-(12π a4)/(5)．