九年级上册的教材第118页有这样一道习题：“在一块三角形余料ABC中，它的边BC=120mm，高线AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC

Question

九年级上册的教材第118页有这样一道习题：
“在一块三角形余料ABC中，它的边BC=120mm，高线AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？”
（1）请你解答上题；
（2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值；
（3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到1mm）；
（4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为h _a ，h _b ，h _c ，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与h _a 必须满足的条件（不必写出过程）．                                             

Answer 1

（1）设正方形的边长为xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴ ，即 ，解得x=48mm．                            
（2）设PN= xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴ ，即 ，解得PQ= ．
∴S=PN·PQ= ，
∴S的最大值为2400mm ² ．                                            
（3） ；  mm                                         
（4）a+h _a <b+h _b 且a+h _a < c+h _c ．                                          

（1）设正方形的边长为xmm，然后表示出AE的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，计算即可得解；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据AB、AC的长度求出相应边上的高，然后根据（1）中的方法计算即可；
（4）用三角形的边长与相应边上的高表示出这边上的内接正方形的边长，再根据正方形的面积越大，则边长越大解答．