高等代数的矩阵方程问题1、对任意矩阵A,求证XAX=A一定有解2、如果矩阵方程AY=C和ZB=C有解,求证方程AXB=C一定有解不好意思，第一题打错了是AXA=A

Question

高等代数的矩阵方程问题
1、对任意矩阵A,求证 XAX=A一定有解
2、如果矩阵方程AY=C和ZB=C有解,求证方程AXB=C一定有解
不好意思，第一题打错了是AXA=A

Answer 1

这两个问题都需要假定矩阵的元素在域上,一般的交换环则不行.
第一问是错的,需要做一些修正.
比如A是mxn的矩阵,XAX存在说明X是nxm的矩阵,此时XAX=A说明A是方阵,这已经不是条件中所说的任意矩阵了.当然,如果把矩阵的数乘看作特殊的乘法那么X=1也算是一个解.
可以修正成以下命题：
A是某个域上的mxn矩阵,那么存在nxm的矩阵X使得XAX=X.
结论甚至可以加强到方程组AXA=A,XAX=X有解.
证明很容易,找A的相抵标准型,即A=PDQ,其中D=diag{I_r,0},P和Q分别是m阶和n阶可逆方阵,那么X=Q^{-1}D^TP^{-1}满足条件(注意,这个不一定唯一).
如果是实数域或复数域这样比较特殊的域,甚至还可以要求AX和XA满足额外的条件.
第二问的做法类似,先找A的相抵标准型A=PDQ,那么可以直接验证Y=Q^{-1}D^TP^{-1}C是AY=C的一个解.同理,如果B=USV,那么Z=CV^{-1}S^TU^{-1}是ZB=C的一个解.只要取X=Q^{-1}D^TP^{-1}CV^{-1}S^TU^{-1}就行了,代进去直接验证.