高二数学已知等式1+2*3+3*3^2+4*3^3+.+n*3^-1=3^n(na-b)+c对一切正整数n都成立,那么a,b,c的值为多少

Question

高二数学
已知等式1+2*3+3*3^2+4*3^3+.+n*3^-1=3^n(na-b)+c对一切正整数n都成立,那么a,b,c的值为多少

Answer 1

首先,对等号左边的式子进行化简,
设,原式=Sn=1+2*3+3*3^2+4*3^3+.+n*3^n-1
则：3Sn=3+2*3^2+3*3^3+4*3^4+.+n*3^n
运用错位相减的方法,有：
-2Sn=1＋3＋3^2＋3^3＋3^4.3^(n-1)-n*3^n
运用等比数列求和公式,有：
-2Sn=(3^n -1)-n*3^n
即Sn=n*3^n/2-(3^n -1)/4=（n/2-1/4)3^n＋1/4
所以,根据题意,有：
3^n(n/2-1/4)＋1/4=3^n(na-b)+c
故,a=1/2,b=1/4,c=1/4