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数学归纳法的一道证明在平面上画n条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点问这些直线将平面分成多少个部分?猜想,用数学归纳法证明.
题目详情
数学归纳法的一道证明
在平面上画n条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点问这些直线将平面分成多少个部分?猜想,用数学归纳法证明.
在平面上画n条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点问这些直线将平面分成多少个部分?猜想,用数学归纳法证明.
▼优质解答
答案和解析
这里的例2
解 记n条直线把平面分成Rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况可知:R1=2=1+1,R2=4=r1+2=1+1+2,R3=7=r2+3=1+1+2+3,R4=11=r3+4=1+1+2+3+4,R5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.由此猜想 rn=1+1+2+3+4+…+n.
接下来用数学归纳法证明这个猜想.
(1) 当n=1,2时,结论均成立 .
(2) 假设当n=k时,结论成立,即 Rk=1+1+2+3+4+…+k,
当n=k+1时,第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平 面部分分成两个部分,
所以 Rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.
根据(1)和(2),可知对n∈N*,均有 Rn=1+1+2+3+4+…+n,即 Rn=1+ n(n+1)/2.
解 记n条直线把平面分成Rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况可知:R1=2=1+1,R2=4=r1+2=1+1+2,R3=7=r2+3=1+1+2+3,R4=11=r3+4=1+1+2+3+4,R5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.由此猜想 rn=1+1+2+3+4+…+n.
接下来用数学归纳法证明这个猜想.
(1) 当n=1,2时,结论均成立 .
(2) 假设当n=k时,结论成立,即 Rk=1+1+2+3+4+…+k,
当n=k+1时,第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平 面部分分成两个部分,
所以 Rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.
根据(1)和(2),可知对n∈N*,均有 Rn=1+1+2+3+4+…+n,即 Rn=1+ n(n+1)/2.
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