在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），且a＞0，b＞0．（1）若点A，B，C在直线L上，求u=1a+2b的最小值，并求此时直线L的方程；（2）若以线段AB，AC为邻边的平行四边形

Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），且a＞0，b＞0．
（1）若点A，B，C在直线L上，求u=(1)/(a)+(2)/(b)的最小值，并求此时直线L的方程；
（2）若以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长相等，且

OA

•（

AB

−

AC

）=5 求a，b的值．

Answer 1

（1）若A，B，C在直线L上，
∵

AB

＝(a−1，1)，

AC

＝(−b−1，2)
∴（a-1）×2-（-b-1）×1=0
即2a+b=1，
∵a＞0，b＞0，u=(1)/(a)+(2)/(b)=（(1)/(a)+(2)/(b)）×（2a+b）=(b)/(a)+(4a)/(b)+4≥8，
当且仅当(b)/(a)＝(4a)/(b)时等号成立，即2a=b，
∵2a+b=1，∴a=(1)/(4)，b=(1)/(2)
∴u的最小值为8，
∴由两点式得：(y−(−2))/(0−(−2))＝(x−1)/(−(1)/(2)−1)，整理得：4x+3y+2=0．
∴直线L的方程为：4x+3y+2=0．
（2）由条件得AB⊥AC，所以

AB

•

AC

＝0，
而

AB

＝(a−1，1)，

AC

＝(−b−1，2)
∴ab+a-b-3=0，-----------①
又

OA

•(

AB

−

AC

)＝5，∴a+b-3=0，------②
由①②得，a=2，b=1或a=3，b=0（舍去）
∴a=2，b=1．