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(2011•眉山)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-4,4),将点B绕点A顺时针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;(2)抛物线
题目详情
(2011•眉山)如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(-4,4),将点B绕点A顺时针方向90°得到点C;顶点在坐标原点的拋物线经过点B.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1+1;
(3)在(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明d2=d1+1;
(3)在(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)设抛物线的解析式:y=ax2,
∵拋物线经过点B(-4,4),
∴4=a•42,解得a=
,
所以抛物线的解析式为:y=
x2;
过点B作BE⊥y轴于E,过点C作CD⊥y轴于D,如图,
∵点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,
∴Rt△BAE≌Rt△ACD,
∴AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3,
∴OD=AD+OA=5,
∴C点坐标为(3,5);
(2)设P点坐标为(a,b),过P作PF⊥y轴于F,PH⊥x轴于H,如图,
∵点P在抛物线y=
x2上,
∴b=
a2,
∴d1=
a2,
∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=
a2-1,PF=a,
在Rt△PAF中,PA=d2=
=
=
a2+1,
∴d2=d1+1;
(3)作直线y=1,过C点作y=1 的垂线,交抛物线于P点,则P即为所求的点.
由(1)得AC=5,
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6,
要使PC+PH最小,则C、P、H三点共线,
∴此时P点的横坐标为3,把x=3代入y=
x2,得到y=
,
即P点坐标为(3,
),此时PC+PH=5,
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11.
∵拋物线经过点B(-4,4),
∴4=a•42,解得a=
1 |
4 |
所以抛物线的解析式为:y=
1 |
4 |
过点B作BE⊥y轴于E,过点C作CD⊥y轴于D,如图,
∵点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,
∴Rt△BAE≌Rt△ACD,
∴AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3,
∴OD=AD+OA=5,
∴C点坐标为(3,5);
(2)设P点坐标为(a,b),过P作PF⊥y轴于F,PH⊥x轴于H,如图,
∵点P在抛物线y=
1 |
4 |
∴b=
1 |
4 |
∴d1=
1 |
4 |
∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=
1 |
4 |
在Rt△PAF中,PA=d2=
AF2+PF2 |
(
|
=
1 |
4 |
∴d2=d1+1;
(3)作直线y=1,过C点作y=1 的垂线,交抛物线于P点,则P即为所求的点.
由(1)得AC=5,
∴△PAC的周长=PC+PA+5
=PC+PH+6,
要使PC+PH最小,则C、P、H三点共线,
∴此时P点的横坐标为3,把x=3代入y=
1 |
4 |
9 |
4 |
即P点坐标为(3,
9 |
4 |
∴△PAC的周长的最小值=5+6=11.
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