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设函数f(x)=lnx+1x:(1)求f(x)的最小值;(2)设数列{xn}满足lnxn+1xn+1<1,证明极限limn→∞xn存在,并求此极限.
题目详情
设函数f(x)=lnx+
:
(1)求f(x)的最小值;
(2)设数列{xn}满足lnxn+
<1,证明极限
xn存在,并求此极限.
1 |
x |
(1)求f(x)的最小值;
(2)设数列{xn}满足lnxn+
1 |
xn+1 |
lim |
n→∞ |
▼优质解答
答案和解析
(1)f′(x)=
−
=
,
令f'(x)=0,得唯一驻点x=1,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数单调递减;当x∈(1,∞)时,f'(x)>0,函数单调递增.
所以函数x=1处取得最小值f(1)=1.
(2)证明:由于lnxn+
<1,但lnxn+
≥1,所以
<
,故数列{xn}单调递增.
又由于lnxn≤lnxn+
<1,得到0<xn<e,数列{xn}有界.
由单调有界收敛定理可知极限
xn存在.
令
xn=a,则
(lnxn+
)=lna+
≤1,由(1)的结论可知
xn=a=1.
1 |
x |
1 |
x2 |
x−1 |
x2 |
令f'(x)=0,得唯一驻点x=1,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数单调递减;当x∈(1,∞)时,f'(x)>0,函数单调递增.
所以函数x=1处取得最小值f(1)=1.
(2)证明:由于lnxn+
1 |
xn+1 |
1 |
xn |
1 |
xn+1 |
1 |
xn |
又由于lnxn≤lnxn+
1 |
xn+1 |
由单调有界收敛定理可知极限
lim |
n→∞ |
令
lim |
n→∞ |
lim |
n→∞ |
1 |
xn+1 |
1 |
a |
lim |
n→∞ |
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