设f（t）是可导的正函数，且f（-t）=f（t），令g（x）=∫a−a|x-t|f（t）dt，-a≤x≤a，a＞0，证明：（1）g′（x）单调增加；（2）求g（x）的最小值点；（3）将g（x）的最小值看作a的函数，若

Question

设f（t）是可导的正函数，且f（-t）=f（t），令g（x）=

∫

a −a

|x-t|f（t）dt，-a≤x≤a，a＞0，证明：（1）g′（x）单调增加；
（2）求g（x）的最小值点；
（3）将g（x）的最小值看作a的函数，若它等于f（a）-a²-1，求f（t）．

Answer 1

（1）因为
g（x）=

∫

a −a

|x−t|f(t)dt 
=

∫

x −a

(x−t)f(t)dt+

∫

a x

(t−x)f(t)dt 
=x

∫

x −a

f(t)dt-

∫

x −a

tf(t)dt+x

∫

x a

f(t)dt-

∫

x a

tf(t)dt，
则由积分上限函数的求导公式可得，
g′（x）=

∫

x −a

f(t)dt+

∫

x a

f(t)dt，
g″（x）=2f（x）＞0，
所以g′（x）单调增加．
（2）因为f（-t）=f（t），所以

∫

x a

f(t)dt (u＝−t.)/()

∫

−x −a

f(−u)(−du)
       (f(−u)＝f(u).)/()

−∫

−x −a

f(u)du
=

∫

−a −x

f(t)dt，
从而，
g′（x）=

∫

x −a

f(t)dt+

∫

x a

f(t)dt 
=

∫

x −a

f(t)dt+

∫

−a −x

f(t)dt
=

∫

x −x

f(t)dt
=2

∫

x 0

f(t)dt．
令g′（x）=2

∫

相关问答 设f（x）在[1，+∞）上可导，且f（1）=3，若 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/6 假设A＝211201311ac1，b＝010，η＝ （1）证明：①Crn+Cr+1n=Cr+1n+1； 二元一次方程组数学题,追给100（1）某同学到书店 问两道公司财务题目，关于收益率的····1.假定利 证明不等式已知x+y+z=1,x,y,z>0证明： 已知f(1-cosx)=sinx的平方,求f(x) 1/18=1/()+1/()填两个不同的自然数, 已知函数f（x）=-x2+2bx+c，设函数g（x 1/18=1/()+1/()填两个不同的自然数,是 设D是位于曲线y＝xa−x2a(a＞1，0≤x＜+ 首页　　　 语文　　　 数学　　　 英语　　　 物理　　　 化学　　　 历史　　　 政治　　　 生物　　　 其他　　　 　 Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved　版权所有 作业搜　 本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail] 湘ICP备12012010号