假设A＝211201311ac1，b＝010，η＝1−11−1．如果η是方程组Ax=b的一个解，试求Ax=b的通解．

Question

假设A＝

2	1	1	2
0	1	3	1
1	a	c	1

，b＝

0

1

0

，η＝

1

−1

1

−1

．如果η是方程组Ax=b的一个解，试求Ax=b的通解．

Answer 1

将：η＝

1

−1

1

−1

代入Ax=b，
得到：1-a+c-1=0，a=c，
于是矩阵A为：

2	1	1	2	⋮	0
0	1	3	1	⋮	1
1	a	a	1	⋮	0

→

2	1	1	2	⋮	0
0	1	3	1	⋮	1
0	a−(1)/(2)	a−(1)/(2)	0	⋮	0

，
①a＝c＝(1)/(2)时，矩阵A经过行初等变换为：

2	1	1	2	⋮	0
0	1	3	1	⋮	1
1	(1)/(2)	(1)/(2)	1	⋮	0

→

2	1	1	2	⋮	0
0	1	3	1	⋮	1
0	0	0	0	⋮	0

→

2	0	−2	1	⋮	−1
0	1	3	1	⋮	1
0	0	0	0	⋮	0

，
于是：r(A)＝r(

.

A

)＝2，
从而基础解系所含解向量个数为：4-r（A）=2，
并且方程组Ax=b对应的齐次方程的同解方程组为：

2x1−2x3+x4＝0

x2+3x3+x4＝0

，
令：x₃=1，x₄=0，解得：x₂=-3，x₁=1，故解向量为：（1，-3，1，0）^T，
令：x₃=0，x₄=2，解得：x₂=-2，x₁=-1，故解向量为：（1，-2，0，2）^T，
再非齐次方程组AX=b的同解方程组为：

2x1−2x3+x4＝−1

x2+3x3+x4＝1

，
令：x₃=1，x₄=1，解得：x₂=-1，x₁=1，
所以非齐次线性方程组AX=b的通解为：

1

−1

1

1

+k1

1

−3

1

0

+k2

−1

−2

0

2

，其中k₁和k₂是任意常数．
②a＝c≠(1)/(2)时，

2	1	1	2	⋮	0
0	1	3	1	⋮	1
1	a	a	1	⋮	0

→

2	1	1	2	⋮	0
0	1	3	1	⋮	1
0	a−(1)/(2)	a−(1)/(2)	0	⋮	0

→

2	0	−2	1	⋮	−1
0	1	3	1	⋮	1
0	0	1−a	(1)/(2)−a	⋮	(1)/(2)−a

，
于是 r(A)＝r(

.

A

)＝3，基础解系所含解向量个数为：4-r（A）=1，
并且方程组Ax=b对应的齐次方程的同解方程组为：

2x1−2x3+x4＝0

x2+3x3+x4＝0

(1−a)x3+((1)/(2)−a)x4＝0

，
令：x₄=2，解得：x₃=-1，x₂=1，x₁=-2，故解向量为：（-2，1，-1，2）^T，
从而非齐次线性方程组AX=b的通解为：

1

−1

1

1

+k

−2

1

−1

2

．