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如图,二次函数y=-x2+2(m-2)x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(1)求m的值及顶点D的坐标;(2)当a≤x≤b时,函数y的最小值为134,最大值为4,求a,b应
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如图,二次函数y=-x2+2(m-2)x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.
(1)求m的值及顶点D的坐标;
(2)当a≤x≤b时,函数y的最小值为1
,最大值为4,求a,b应满足的条件;
(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得三角形PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)求m的值及顶点D的坐标;
(2)当a≤x≤b时,函数y的最小值为1
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(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得三角形PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)把A(3,0)代入y=-x2+2(m-2)x+3,
得-9+6(m-2)+3=0,
解得m=3.
则二次函数为y=-x2+2x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)把y=1
代入y=-x2+2x+3,
得1
=-x2+2x+3,
解得x1=-
,x2=
,结合图象知-
≤a≤1.
当a=-
时,1≤b≤
,
当-
<a≤1时,b=
;
(3)x=0时,y=3,所以点C坐标为(0,3).
当三角形PDC是等腰三角形时,分三种情况:
①如图1,当DC=DP时,
∵点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴点P坐标为(2,3);
②如图2,当PC=PD时,过点D作x轴的平行线,交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH于点N.
∵HD=HC=1,PC=PD,
∴HP是线段CD的垂直平分线.
∵HD=HC,HP⊥CD,
∴HP平分∠MHN,
∵PM⊥y轴于点M,PN⊥DH于点N,
∴PM=PN.
设P(m,-m2+2m+3),则
m=4-(-m2+2m+3),解得m=
,
∴P的坐标为(
,
)或(
,
);
③如图3,当CD=CP时,点P在y轴左侧,
得-9+6(m-2)+3=0,
解得m=3.
则二次函数为y=-x2+2x+3,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)把y=1
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得1
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解得x1=-
1 |
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2 |
1 |
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当a=-
1 |
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当-
1 |
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5 |
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(3)x=0时,y=3,所以点C坐标为(0,3).
当三角形PDC是等腰三角形时,分三种情况:
①如图1,当DC=DP时,
∵点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴点P坐标为(2,3);
②如图2,当PC=PD时,过点D作x轴的平行线,交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH于点N.
∵HD=HC=1,PC=PD,
∴HP是线段CD的垂直平分线.
∵HD=HC,HP⊥CD,
∴HP平分∠MHN,
∵PM⊥y轴于点M,PN⊥DH于点N,
∴PM=PN.
设P(m,-m2+2m+3),则
m=4-(-m2+2m+3),解得m=
3±
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∴P的坐标为(
3-
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5+
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3+
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2 |
5-
| ||
2 |
③如图3,当CD=CP时,点P在y轴左侧,
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