如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四

Question

如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S_△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

（1）四边形APQDAPQD为平行四边形；
（2）OA=OPOP，OAOA⊥OPOP，理由如下：
∵四边形ABCDABCD是正方形，
∴ABAB=BCBC=PQPQ，∠ABOABO=∠OBQOBQ=45°，
∵OQOQ⊥BDBD，
∴∠PQOPQO=45°，
∴∠ABOABO=∠OBQOBQ=∠PQOPQO=45°，
∴OBOB=OQOQ，
在△AOB和△OPQ中，

AB=PQ

∠ABO=∠PQO

BO=QO

∴△AOBAOB≌△OPQOPQ（SAS），
∴OAOA=OPOP，∠AOBAOB=∠PQOPOQ，
∴∠AOPAOP=∠BOQBOQ=90°，
∴OAOA⊥OPOP；
（3）如图，过OO作OEOE⊥BCBC于EE．
①如图1，当P点P在B点B右侧时，
则BQBQ=x+2，OEOE=(x+2)/(2)，
∴y=(1)/(2)×(x+2)/(2)•x，即y=(1)/(4)（x+1）²-(1)/(4)，
又∵0≤x≤2，
∴当x=2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点P在BB点左侧时，
则BQBQ=2-x，OEOE=(2-x)/(2)，
∴y=(1)/(2)×(2-x)/(2)•x，即y=(1)/(4)（x-1）²+(1)/(4)，
又∵0≤x≤2，
∴当x=1时，y有最大值为(1)/(4)；
综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；