微分方程求解y'=xy/(x^2-y^2)

Question

微分方程求解y'=xy/(x^2-y^2)

Answer 1

解法一：
y'=1/(x/y-y/x)
令y=xu
则y'=u+xu'
代入得：u+xu'=1/(1/u-u)=u/(1-u^2)
xu'=u^3/(1-u^2)
du* (1-u^2)/u^3=dx/x
du(1/u^3-1/u)=dx/x
积分：-1/(2u^2)-lnu=x+c
即：-1/(2y^2/x^2)-ln(y/x)=x+c
解法二：
这道题的关键在于把x看成因变量
dy/dx=xy/(x^2-y^2)
dx/dy=(x^2-y^2)/xy
dx/dy=x/y-y/x
dx/dy-x/y=-y/x
xdx/dy-x^2/y=-y
令u=x^2,则du/2dy-u/y=-y
即du/dy-2u/y=-2y
根据一阶线性非其次微分方程的通解公式得
u=e^[-∫(-2/y)dy]{∫(-2y)e^[∫(-2/y)dy]dy+c}=-(2/3)y^4+ce^2y
x^2=-(2/3)y^4+ce^2y