阅读下列材料解决问题：材料：古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数．把数1，3，6，10，15，21…

Question

阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数．
把数1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形数“名副其实”
（1）设第一个三角形数为a₁=1，第二个三角形数为a₂=3，第三个三角形数为a₃=6，请直接出第n个三角形数为a_n的表达式（其中n为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由．

Answer 1

（1）观察，发现规律：a₁=1，a₂=1+2=3，a₃=1+2+3=6，a₄=1+2+3+4=10，…，
则a_n=1+2+3+…+n=(n(n+1))/(2)（n为正整数）．
（2）假设66是三角形数，
令66=(n(n+1))/(2)，即n²+n-132=0，
解得：n=11，或n=-12（舍去）．
则66是三角形数，66是第11个三角形数．
（3）T<2，理由如下：
T=(1)/(a1)+(1)/(a2)+(1)/(a3)+…+(1)/(an)，
=(2)/(1×2)+(2)/(2×3)+(2)/(3×4)+…+(2)/(n(+1))，
=2（1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(4)+…+(1)/(n)-(1)/(n+1)），
=2（1-(1)/(n+1)）<2．
则所有三角形数的倒数之和T<2．