对于函数f（x），g（x），如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f（x）和g（x）在点P处相切，称点P为这两个函数的切点．设函数f（x）=ax2-bx（a≠0），g（x）=lnx．（Ⅰ

Question

对于函数f（x），g（x），如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数f（x）和g（x）在点P处相切，称点P为这两个函数的切点．设函数f（x）=ax²-bx（a≠0），g（x）=lnx．
（Ⅰ）当a=-1，b=0时，判断函数f（x）和g（x）是否相切？并说明理由；
（Ⅱ）已知a=b，a>0，且函数f（x）和g（x）相切，求切点P的坐标；
（Ⅲ）设a>0，点P的坐标为((1)/(e)，-1)，问是否存在符合条件的函数f（x）和g（x），使得它们在点P处相切？若点P的坐标为（e²，2）呢？（结论不要求证明）

Answer 1

（Ⅰ）结论：当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切．
理由如下：由条件知f（x）=-x²，
由g（x）=lnx，得x>0，
又因为 f'（x）=-2x，g′(x)=(1)/(x)，
所以当x>0时，f'（x）=-2x<0，g′(x)=(1)/(x)>0，
所以对于任意的x>0，f'（x）≠g'（x）．
当a=-1，b=0时，函数f（x）和g（x）不相切．
（Ⅱ）若a=b，a>0，则f'（x）=2ax-a，
g′(x)=(1)/(x)，
设切点坐标为（s，t），其中s>0，
由题意得，as²-as=lns①，2as-a=(1)/(s)②，
由②，得 a=(1)/(s(2s-1))，
代入①，得 (s-1)/(2s-1)=lns．（*）                   
因为 a=(1)/(s(2s-1))>0，且s>0，
所以 s>(1)/(2)．
设函数 F(x)=(x-1)/(2x-1)-lnx，x∈((1)/(2)，+∞) x∈(0，(1)/(2))∪((1)/(2)，+∞)，
则 F′(x)=(-(4x-1)(x-1))/(x(2x-1)2)．
令F'（x）=0 F'（x）=0，解得x=1或x=(1)/(4)（舍）．
当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，

x	((1)/(2)，1)	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	极大值	↘

所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当x∈((1)/(2)，1)∪(1，+∞)时F（x）<0．
因此，当且仅当x=1时F（x）=0．
所以方程（*）有且仅有一解s=1．
于是t=lns=0，
因此切点P的坐标为（1，0）．
（Ⅲ）当点P的坐标为（(1)/(e)，-1）时，存在符合条件的函数f（x）和g（x），
使得它们在点P处相切；                                                    
当点P的坐标为（e²，2）时，不存在符合条件的函数f（x）和g（x），
使得它们在点P处相切．