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已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A、B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足（1）求双曲线G的
题目详情
| 已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆  相切，过点 P (－4,0)作斜率为 的直线 l ，使得 l 和 G 交于 A 、B 两点，和 y 轴交于点 C ，并且点 P 在线段 AB 上，又满足 （1）求双曲线G的渐近线方程 （2）求双曲线G的方程 （3）椭圆 S 的中心在原点，它的短轴是 G 的实轴，如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分，求椭圆 S 的方程。 |
▼优质解答
答案和解析
| （1）  （2） （3） |
| (1)设双曲线 G 的渐近线方程为 y=kx ，则由渐近线与圆  相切可得 ，所以 ，故渐近线方程为 (2)由（1）可设双曲线G的方程为  ，把直线 l 的方程代入双曲线并整理得 则 （1） ,P、A、B、C共线且在线段AB上 即 整理得 将（1）式带入得m=8故双曲线G的方程为 (3)由提议可设椭圆方程为  设弦的端点分别为 ， ，MN的中点为 ，则 ， 作差得  故垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线 截在内的部分。又由题意，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分 即 |
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