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设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3∫123f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f′(c)=0.

题目详情
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3
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f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f′(c)=0.
▼优质解答
答案和解析
函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,
(
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,1)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)(1−
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)=
∫ 
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f(x)dx成立,即f(ξ)=3
∫ 
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f(x)dx;
因为3
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f(x)dx=f(0),所以f(ξ)=f(0);
因为函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,根据中值定理可得:
在(0,ξ)内存在一点c,使f′(c)=0,所以,在(0,1)内存在一点c,使f′(c)=0.