已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程x2+a+c2x+b+d2＝0也有一个根为1．

Question

已知两个二次方程x²+ax+b=0与x²+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程x2+(a+c)/(2)x+(b+d)/(2)＝0也有一个根为1．

Answer 1

证明：∵x=1是方程x²+ax+b=0和x²+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2  ①
把①代入方程x²+(a+c)/(2)x+(b+d)/(2)=0，
得：x²+(a+c)/(2)x-1-(a+c)/(2)=0，
（x²-1）+(a+c)/(2)（x-1）=0，
（x-1）（x+1+(a+c)/(2)）=0，
∴x₁=1，x₂=-1-(a+c)/(2)．
故二次方程x²+(a+c)/(2)x+(b+d)/(2)=0也有一个公共根为1．