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10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片,测得其长为29μm,30μm,31μm的小组分别有3个,5个,2个,测得其宽为19μm,20μm,21μm的小组分别有3个,4个,3个,设测量中矩形蕊片的长与

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10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片,测得其长为29μm,30μm,31μm的小组分别有3个,5个,2个,测得其宽为19μm,20μm,21μm的小组分别有3个,4个,3个,设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η,周长为μ.
(1)分别在下表中,填写随机变量ξ和η的分布律;
(2)求周长μ的分布律,并列表表示;
(3)求周长μ的期望值.
▼优质解答
答案和解析

(1)作出如图的分布律表格即可
长度ζ(μm) 29 30 31
P 0.3 0.5 0.2
宽度η(μm) 19 20 21
P 0.3 0.4 0.3
(2)P(μ=96)=0.3×0.3=0.09;P(μ=98)=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27;P(μ=100)=0.5×0.4+0.2×0.3+0.3×0.3=0.35;
P(μ=102)=0.2×0.4+0.5×0.3=0.23;P(μ=104)=0.2×0.3=0.06.
周长分布列如下表所示
周长μ μm 96 98 100 102 104
P 0.09 0.27 0.35 0.28 0.06
(3)解法一:(利用周长的分布计算)Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8.
解法二:(利用矩形长与宽的期望计算)由长和宽的分布列可以算得
Eζ=29×P(ζ=29)+30×P(ζ=30)+31×P(ζ=31)=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9,
Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21)=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20.
由期望的性质可得Eμ=2(Eζ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8.

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