已知：在△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC上一点，∠ADB=120°且CD=2BD，将△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处．（1）求证：BE⊥BC；（2）求∠C的度数．

Question

已知：在△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC上一点，∠ADB=120°且CD=2BD，将△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处．
（1）求证：BE⊥BC；
（2）求∠C的度数．

Answer 1

（1）取DE的中点M，连接BM，如图1，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADC=60°，
∵△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∵CD=2BD，
∴DE=2BD，
∴DM=DB，
∴△BDM为等边三角形，
∴BM=DM，
即EM=BM=MD，
∴△BDE为直角三角形，
∴BE⊥BC；
（2）作AF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BE于H，如图2，
则四边形AFBH为矩形，
∵∠ABC=45°，
∴四边形AFBH为正方形，
∴AF=AH，
∵∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，
∴AF=AG，
在Rt△AHE和Rt△AGE中

AH＝AG

AE＝AE

，
∴Rt△AHE≌Rt△AGE（HL），
∴∠3=∠2，
同理可得Rt△ADG≌Rt△ADF，
∴∠DAG=∠4，
∴∠2+∠DAG=(1)/(2)∠FAH=45°，即∠DAE=45°，
∴∠1=180°-∠DAE-∠ADE=75°，
∵△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，
∴∠C=∠1=75°．