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如图①,已知点O为菱形ABCD的对称中心,∠A=60°,将等边△OEF的顶点放在点O处,OE,OF分别交AB,BC于点M,N.(1)求证:OM=ON;(2)将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置,请写
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如图①,已知点O为菱形ABCD的对称中心,∠A=60°,将等边△OEF的顶点放在点O处,OE,OF分别交AB,BC于点M,N.
(1)求证:OM=ON;
(2)将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置,请写出线段BM,BN与AB之间的数量关系,并进行证明.
(1)求证:OM=ON;
(2)将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置,请写出线段BM,BN与AB之间的数量关系,并进行证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:取BC的中点G,连接OG
∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA,
∵点O为菱形ABCD的对称中心,
∴OD=OB
∴OG∥CD
∴∠BGO=∠C=60°,OG=OB
∵△OEF是等边三角形,
∴∠EOF=60°,
∴∠BOM=∠NOG
又∵∠BGO=∠ABD=60°
在△OBM和△OGN中,
,
∴△OBM≌△OGN(ASA),
∴OM=ON;
(2)证明:取BC中点G,
同理可证:△OBM≌△OGN,
∴BM=GN,
∴BG=BN-NG,
∴BN-BM=BG=
AB.
∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA,
∵点O为菱形ABCD的对称中心,
∴OD=OB
∴OG∥CD
∴∠BGO=∠C=60°,OG=OB
∵△OEF是等边三角形,
∴∠EOF=60°,
∴∠BOM=∠NOG
又∵∠BGO=∠ABD=60°
在△OBM和△OGN中,
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∴△OBM≌△OGN(ASA),
∴OM=ON;
(2)证明:取BC中点G,
同理可证:△OBM≌△OGN,
∴BM=GN,
∴BG=BN-NG,
∴BN-BM=BG=
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