n^2*q^n求极限（n趋于正无穷大,q的绝对值小于1）要求用极限定义而不是罗彼得法则.

Question

n^2*q^n求极限（n趋于正无穷大,q的绝对值小于1）要求用极限定义而不是罗彼得法则.

Answer 1

【【注：一个结论及证明.】】
【1】
若t＞1,则当正整数n充分大时,必有t^n＞n.
用数归法证明.
n=1时,显然有：t＞1.(∵t＞1)
假设当n=k时,有t^k＞k
则t^(k+1)＞tk＞k+1.(显然,k(t-1)只要k充分大,保证k(t-1)＞1即可)
∴该命题成立.
【2】
若t＞1,则当正整数n充分大时,必有t^n＞n³.
易知,上面的t三次方,即可证明.
【【【【【解】】】】】
【1】
当q=0时,原式=n²×[0^n]=0
易知,此时极限=0
【2】
当q≠0.可设t=|1/q|.
由0＜|q|＜1可知,t＞1.
∴t^n＞n³
∴0＜n²/(t^n)＜1/n ------>0
由“夹逼定理可知,
|n²/(t^n)|-------------->0
∴|原式|=|n²/(t^n)|----->0
∴原极限=0