lim∑i/（n^2+i^2）的极限,n趋于无穷,i的变化范围是从1到n还有一个题，lim∑分子1.分母n+（i^2+1）/n,n趋于无穷大，i从1到n

Question

lim∑i/（n^2+i^2）的极限,n趋于无穷,i的变化范围是从1到n
还有一个题，lim∑分子1.分母n+（i^2+1）/n,n趋于无穷大，i从1到n

Answer 1

lim∑i/（n^2+i^2）=lim(1/n)∑(i/n)/(1+(i/n)^2）
考虑函数x/(1+x^2),在区间[0,1]连续,分区间n等分,取右端点,由极限定义：
lim∑i/（n^2+i^2）
=lim(1/n)∑(i/n)/(1+(i/n)^2）
=∫[x/(1+x^2)]dx
=(1/2)ln(1+x^2)|(0,1)
=(1/2)ln2