证明：对任意正整数n,都有6|n(n+1)(n+2)要完整的证明

Question

证明：对任意正整数n,都有6|n(n+1)(n+2)
要完整的证明

Answer 1

若n是偶数,则2|n
所以2|n(n+1)(n+2)
若n是奇数
则n+1是偶数
所以2|(n+1)
所以2|n(n+1)(n+2)
综上
2|n(n+1)(n+2)
n除以3,余数可能是0,1,2
所以n=3a,或3a+1,或3a+2
若n=3a
则3|n,
所以3|n(n+1)(n+2)
若n=3a+1,则n+2=3a+1+2=3(a+1)
则3|(n+2)
所以3|n(n+1)(n+2)
若n=3a+2,则n+1=3a+2+1=3(a+1)
则3|(n+1)
所以3|n(n+1)(n+2)
综上
3|n(n+1)(n+2)
因为2和3互质
所以(2×3)|n(n+1)(n+2)
所以6|n(n+1)(n+2)