已知n是自然数,试说明:10|n5-nn5是n的5次方

Question

已知n是自然数,试说明:10|n5-n
n5是n的5次方

Answer 1

因为n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n+1)(n-1)(n^2+1)
开始讨论,要使n^5-n被10整除,只要该式能够同时被2,5整除即可.
对于这个式子,因为有：n(n+1)
连续的两个自然数一定有一个是偶数,所以,该式可以被2整除；
下面讨论能否被5整除.
不妨设：n=5k,显然原式能被5整除.
n=5k+1时,有：n-1=5k显然原式能被5整除.
n=5k+2时,有：n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1
能被5整除,显然原式能被5整除.
n=5k+3时,有：n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+10
能被5整除,显然原式能被5整除.
n=5k+4时,有：n+1能被5整除.
综上,无论n为何值,原式能被5整除.
所以：10|n5-n