a1=1,sn=3分之n+2的和乘以an,求an的通项公式有一个一样的问题,但是内个答案错了.

Question

a1=1,sn=3分之n+2 的和乘以an,求an的通项公式
有一个一样的问题,但是内个答案错了.

Answer 1

a(n)=1/2*n*(n+1).
因为S(n)=(n+2)/3*a(n),
所以S(n-1)=(n-1+2)/3*a(n-1)=(n+1)/3*a(n-1)
两式相减,由于S(n)-S(n-1)=a(n),
得
a(n)=(n+2)/3*a(n)-(n+1)/3*a(n-1),
得
a(n)/a(n-1)=(n+1)/(n-1),
得
a(n)/(n(n+1))=a(n-1)/((n-1)n),
因此,设
a(n)=n*(n+1)*k,其中k为常数.
代入n=1,a(1)=1,得k=1/2.
因此a(n)=1/2*n*(n+1).