数列﹛an﹜的前n项和为Sn且Sn=1-an﹙n∈N*﹚求﹙1﹚liman﹙2﹚a1＋a3＋…＋a﹙2n－1﹚＋…﹙3﹚lim﹙a²＋a4²＋…a2n²﹚

Question

数列﹛an﹜的前n项和为Sn且Sn=1-an﹙n∈N*﹚
求﹙1﹚liman ﹙2﹚a1＋a3＋…＋a﹙2n－1﹚＋… ﹙3﹚lim﹙a²＋a4²＋…a2n²﹚

Answer 1

(1)Sn=1-an
S(n-1)=1-a(n-1)
所以an=a(n-1)-an
an=1/2a(n-1)
同时a1=1-a1,即a1=1/2
所以an=1/2^n
故lim(n→∞)an=0
(2)a1,a3,...,a(2n-1)为首项1/2,公比1/4的等比数列
所以a1+a3+...+a(2n-1)=1/2(1-1/4^n)/(1-1/4)=2/3(1-1/4^n)
(3)(a2n)^2=1/16^n
所以(a2)^2+(a4)^2+...+(a2n)^2=1/16(1-1/16^n)/(1-1/16)=1/15(1-1/16^n)
所以lim(n→∞)[(a2)^2+(a4)^2+...+(a2n)^2]=1/15